cours رياضيات جبرية

______________________________
معلومة سأستخدمها في الحل: إذا كان كانت لدينا مجموعتين منتهيتين وكان فإن:
الدالة تكون أحادية (متباينة-one to one) إذا وفقط إذا كانت شاملة (فوقية -onto).
______________________________________________

نفرض أن
نعرف الدالتين بحيث

واضح أن هاتين الدالتين معرفتين جيدا well defined functions ، سنثبت أنهما متباينتان
لنفرض أن يحققان

وذلك من تحقق قانون الحذف الأيسر.
بالمثل باستخدام قانون الحذف الأيمن نستطيع ان نثبت أن دالة أحادية.
وبالتالي من المعلومة في البداية فهما شاملتان، أي:
لكل يوجد عنصران بحيث: وهذا لكل
___________________________
النتيجة: شبه زمرة (بنية جبرية تجميعية) تحقق أنه لكل فإن للمعادلتين

حل وحيد في .
وبالتالي زمرة.
_____________________________________
ملاحظة: لغرض الإختصار وضعت




نضع

ولكل نُعرف:


من تحقق قانون الحذف من اليسار نجد أن وذلك لكل
إذن تحتوي على عنصرا مختلفا، أي أن:
بالمثل نستنتج أن
..........................................
الآن لنأخذ عنصرا
لدينا وبالتالي يوجد عنصر يحقق أن

وأيضا لكل عنصر يوجد عنصر بحيث

إذن


أي ان محايد أيمن لـ
.........................................
لإثبات وجود معكوس أيمن لكل عنصر نلاحظ أن
أي أنه يوجد عنصر يحقق أن
...............................
وهذا كافي لإثبات أن زمرة.
...........................................................
المعلومات المستخدمة في هذا البرهان هي:
1- إذا كانت مجموعة منتهية و مجموعة جزئية من وكان فإن .

2- لتكن شبه زمرة، فإنها تكون زمرة إذا وفقط إذا وجد لها محايد أيمن (أيسر) ولكل عنصر يوجد معكوس أيمن(أيسر).





هنا الحل الثالث الذي حذف بسبب العطل:

ملاحظة : هو شبيه بالحل الثاني الذي قامت به الأخت الفاضلة المبدعة (سبأ) :
To prove the the question, I’m gonna depend on the axioms of the Group.
1) Associative (Done) .
2) Has identity element .
Calim : such that



Let

Consider
, we must have , s.t. [unparseable or potentially dangerous latex formula]

, by cancellation laws we have :

, let

.
Calim : is an identity element in S :
Let , but .

, by Canc. Laws we have :
.Thus, is right identity ( Similar to left id.).
Identity element is exist.
(Done).
3) To show there is an inverse element in S for each element in S.
Let , to show that
is the inverse element .
We have two cases :
1st one : if ,
.
2nd one : if
, is the identity element.
(Done).
is Group.

أدام الله عزكم